حل کاردرکلاس صفحه 85 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 85 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! تعیین علامت عبارت‌های جبری، مهارتی کلیدی در ریاضیات است. ما ریشه‌ی هر عامل را پیدا می‌کنیم و سپس علامت را در بازه‌های مختلف بررسی می‌کنیم. *** ### **الف) $\mathbf{A = (3x + 1)(x - 2)}$ (عبارت درجه دوم)** **گام ۱: پیدا کردن ریشه‌ها** * $\mathbf{3x + 1 = 0} \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{3} \approx -0.33$ * $\mathbf{x - 2 = 0} \Rightarrow x_2 = 2$ **گام ۲: تعیین علامت (از طریق ضریب $\mathbf{x^2}$)** * ضریب جمله‌ی درجه دوم ($x^2$) در عبارت $A$ مثبت است ($3x \times x = 3x^2$). پس علامت در خارج ریشه‌ها **موافق ضریب $a$ (مثبت)** و بین ریشه‌ها **مخالف ضریب $a$ (منفی)** است. | $\mathbf{x}$ | $-\infty$ | $-\frac{1}{3}$ | $2$ | $+\infty$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{A}$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | *** ### **ب) $\mathbf{B = (2x - 3)^2}$ (عبارت مربع کامل)** **گام ۱: تحلیل عبارت** * این عبارت، مربع کامل است. مربع هر عدد حقیقی همواره **بزرگ‌تر یا مساوی صفر** است. **گام ۲: پیدا کردن ریشه (ریشه‌ی مضاعف)** * $\mathbf{2x - 3 = 0} \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5$ **گام ۳: تعیین علامت** * به ازای $x=1.5$، $B$ صفر است. به ازای تمام $x$های دیگر، $B$ مثبت است. | $\mathbf{x}$ | $-\infty$ | $1.5$ | $+\infty$ | | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{B}$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | *** ### **پ) $\mathbf{C = x^3 (7 - x)}$ (عبارت چندجمله‌ای)** **گام ۱: پیدا کردن ریشه‌ها** * $\mathbf{x^3 = 0} \Rightarrow x_1 = 0$ (ریشه‌ی مضاعف با مرتبه‌ی فرد) * $\mathbf{7 - x = 0} \Rightarrow x_2 = 7$ **گام ۲: تعیین علامت (بررسی ضریب $\mathbf{x}$ با بالاترین توان)** * $athbf{x^3 (7 - x)} = 7x^3 - x^4$. بالاترین توان $x^4$ با ضریب $-1$ است. ($a_{\max} = -1$). * علامت در بازه‌ی $\mathbf{x > 7}$ (بعد از بزرگ‌ترین ریشه) باید **موافق ضریب $a_{\max}$ (منفی)** باشد. | $\mathbf{x}$ | $-\infty$ | $0$ | $7$ | $+\infty$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{x^3}$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{+}$ | | $\mathbf{7-x}$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | | $\mathbf{C}$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | *** ### **ت) $\mathbf{D = \frac{x - 1}{5 - 2x}}$ (عبارت گویا)** **گام ۱: پیدا کردن ریشه‌ی صورت و مخرج** * **ریشه‌ی صورت:** $\mathbf{x - 1 = 0} \Rightarrow x_1 = 1$ * **ریشه‌ی مخرج:** $\mathbf{5 - 2x = 0} \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$ **گام ۲: تعیین علامت** * علامت $athbf{x - 1}$: $a = +1$. علامت **$$\mathbf{- \quad 0 \quad +}$$** (تغییر در $x=1$). * علامت $athbf{5 - 2x}$: $a = -2$. علامت **$$\mathbf{+ \quad 0 \quad -}$$** (تغییر در $x=2.5$). | $\mathbf{x}$ | $-\infty$ | $1$ | $2.5$ | $+\infty$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{x-1}$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{+}$ | | $\mathbf{5-2x}$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{\text{ن.ت.}}$ | $\mathbf{-}$ | | $\mathbf{D}$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | $\mathbf{+}$ | **توجه:** در $x=2.5$، عبارت تعریف نشده است (ن.ت.) زیرا مخرج صفر می‌شود. در $x=1$، $D=0$ است.